دترمینان

ایده دترمینان برای اولین بار در سال 1683 ظاهر شد . سکی (Seke) در کتاب حل مسائل فریبنده خود

روش های ماتریسی را به عنوان جدول های اعداد مشابه سبک چینی معرفی کرده است.سکی با

بکارگیری دترمینان ها قادر بود  دترمینان ماتریس های با مرتبه های بالا را نیز محاسبه کند و

روش هایش را در حل دستگاه معادلات چند مجهولی بکار گیرد.

همچنین لیبنیز (Leibniz) به صورتی قابل توجه در نامه ای به هوپیتال توضیح داد که دستگاه معدلات

دارای جواب است اگر

منظور لیبنیز از اعداد بالا ضرایب عددی نبود .بلکه دو علامت بود که اولی بیانگر شماره معادله و

دومی بیانگر متغیری است که این علامت به آن تعلق دارد.به عنوان مثال در عصر حاضر ممکن است

 بجای 21 از نمادa₂₁  استفاده کنیم.مشاهده می کنیم که شرط فوق دقیقا همان شرط ناصفر بودن

 دترمینان ماتریس ضرایب را بیان می کند.

حال ممکن است این سوال پیش آید که دترمینان چیست و چگونه تعریف می شود.

در جواب می توان گفت D(A) یک تابع با خاصیت دترمینان است هرگاه چهار شرط زیر را داشته باشد:

اگر هر ستون ماتریس A را با a_i نشان دهیم داریم:

با بررسی خواص دترمینانی در توابع تنها یک تابع دترمینانی می توان یافت. این تابع اینگونه تعریف

می شود:

در این ضابطه jشماره ستون در ماتریس است و iیکی از سطرهای دلخواه است که دترمینان را روی

درایه های آن سطر محاسبه می کنیم.(برای سادگی محاسبه بهتر است سطری را انتخاب کنیم که

بیشترین تعداد صفر را داشته باشد.)

A_ij  نیز ماتریسی است که از حذف سطر iام و ستون jام از ماتریس A بدست می آید. این عمل را

آنقدر تکرار می کنیم تا A_ij یک ماتریس 2*2 شود . به این ترتیب می توان دترمینان ماتریس A  از هر

 مرتبه دلخواه را محاسبه کرد.

 

مثال: می خواهیم دترمینان ماتریس                      را حساب کنیم.

فرمول محاسبه را بر حسب سطر اول بکار می بریم:

همین طور اگر فرمول را بر حسب سطر دوم بسط دهیم جواب مشابه می یابیم:

به عنوان تمرین دترمینان این ماتریس را بر حسب سطر سوم پیدا کنید.